Integración por partes

 Integración por partes

Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

Esta es la regla de integración por partes. La recomendación para no confundirte con las definiciones que hagas para el cálculo de la integral por partes es que elabores una tabla con los valores de , ,  y . Cuando tengas la tabla completa, sigue sustituir estos valores en la regla de integración por partes, y después de calcular la integral, simplificar el resultado hasta donde sea posible.

Ejercicio de fácil memorización

Un Día Vi Una Vaca sin cola Vestida De Uniforme

o también

un día vi una vaca sin cola vestida de unicornio

En realidad, hay muchas otras frases que ayudan a recordar la integración por partes. La clave en este caso sería recordar, además de la frase, dónde va el signo igual y que "sin cola" significa "menos la integral de". Por cierto, esta frase mnemotécnica es la razón por la cual algunos se refieren cariñosamente a la Integración por Partes como el Teorema de la Vaquita.

Método:

1. El integrando debe ser un producto de dos factores (si no lo es, podemos transformarlo para que lo sea).
2. Uno de los factores será $u$ y el otro será $dv$.
3. Se calcula $du$ derivando $u$ y se calcula $v$ integrando $dv$.
4. Se aplica la fórmula.

Paso 1: Elección Estratégica de “u” y “dv”

La elección adecuada de las funciones “u” y “dv” es un primer paso crucial. Generalmente, seleccionamos “u” de tal manera que su derivada “du” sea más simple que “u” en sí mismo, y elegimos “dv” de modo que su integral “v” sea más simple que “dv”. Esta elección estratégica se basa en la regla mnemotécnica “LIATE,” que prioriza las siguientes funciones:

• Logaritmos (logaritmos y funciones inversas) sin^-1(x), cos^-1(x), tan^-1(x)
• Inversas trigonométricas ln (x), log (x)
• Algebraicas (polinomios y funciones algebraicas) x², x³
• Trigonométricas sin(x), cos(x), tan (x)
• Exponenciales e^x, 3^x

Integrales cíclicas:

En ocasiones, tenemos que despejar la propia integral de la igualdad obtenida para poder calcularla. Por ejemplo, podemos aplicar integración por partes para calcular la integral $\int xdx$, considerando $u=x$ y $dv=dx$.

La misma integral en ambos lados, así que podemos operar como si fuese una ecuación 

$x=a-x$, de donde $x=a/2$, despejando en un lado:

Ejemplo 1 de Integración por Partes Paso a Paso

$x\cdot e^x$

La exponencial no cambia al derivar ni al integrar, así que no importa si le asignamos $u$ ó $dv$.

No ocurre lo mismo con $x$:

• Al derivar se reduce su exponente en 1 y pasa a ser una constante.
• Al integrar aumenta su exponente en 1.

Por tanto, la elección más apropiada es $u=x$ y $du=dx$.

Derivamos $u$ para calcular $du$:

Integramos $dv$ para calcular $v$:

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

Finalmente, resolvemos la nueva integral (la de la exponencial) y añadimos la constante de integración $\mathrm{C.}$

Nota: como ya hemos dicho, es importante escoger $x=u$ para reducir el grado del monomio al derivar. Si por el contrario hubiésemos escogido $x=dv$, entonces $v=\frac{x^2}{2}$

$�=\frac{{�}^2}{2}$, aumentando el grado (de 1 a 2) y complicando más la integral, pues el factor de la exponencial se mantiene igual y nos aparece la integral⋅exdx

$$\int \frac{x^2}{2}$$

Ejemplo 2 de Integración por Partes Paso a Paso

Para que este proceso sea más claro, consideremos un ejemplo práctico:

Siguiendo los pasos mencionados, calculamos esta integral paso a paso:

• u es la 
•  es 

por lo tanto:

Sustituyendo:

Es importante tener en cuenta que para poder estudiar con éxito esta materia, debes dominar perfectamente el cálculo de derivadas y las integrales inmediatas.

Ejemplo 3 de Integración por Partes Paso a Paso

Hallar la integral ∫e^x x dx

Elige u y dv:

• u = e^x
• dv = x

Deriva u: (e^x)' = e^x

Integra dv: ∫x dx = x²/2

Ahora pon todo junto:

Ejemplo 4 : ∫e^x x dx 

Elige u y dv de manera diferente:

• u = x
• dv = e^x

Deriva u: (x)' = 1

Integra dv: ∫e^x dx = e^x

Ahora pon todo junto:

Simplifica:

x e^x − e^x + C

e^x(x−1) + C

Video:

Referencias

INTEGRACION POR PARTES: METODOS DE INTEGRACION: CALCULO DE PRIMITIVAS: EJERCICIOS RESUELTOS (matesfacil.com)

Integración por partes - Aprende Matemáticas (aprendematematicas.org.mx)

Integración por Partes: Guía Completa y Ejemplo Paso a Paso - FÍSICAYMATES (fisicaymates.com)

Integración por Partes (disfrutalasmatematicas.com)