La ley se basa en lo siguiente: si los signos son iguales el resultado debe ser positivo. En cambio si los signos son diferentes el resultado será negativo. En otras palabras podría decirse signos iguales se suman, signos diferentes se restan. Esto va relacionado en operaciones básicas con números enteros.
Por ejemplo, en la suma, si tenemos dos números con el mismo signo, como +3 y +5, al sumarlos obtendremos un resultado positivo: 3 + 5 = +8. En cambio, si los números tienen signos diferentes, como -4 y +7, al sumarlos obtendremos un resultado negativo: -4 + 7 = +3.
En la resta también aplicamos la ley de los signos. Si restamos dos números con el mismo signo, como -9 y -2, obtendremos un resultado positivo: -9 – (-2) = -9 + 2 = -7. Pero si los números tienen signos diferentes, como -5 y +3, el resultado será negativo: -5 – (+3) = -5 – 3 = -8.
En la multiplicación, si multiplicamos dos números con el mismo signo, como -6 y -4, el resultado será positivo: -6 * (-4) = +24. Pero si los signos son diferentes, como -8 y +2, el resultado será negativo: -8 * (+2) = -16.
En la división, si los números tienen el mismo signo (ya sea ambos positivos o ambos negativos), el cociente será positivo. Por ejemplo, si dividimos 12 entre 4, el resultado es 3, ya que ambos números son positivos. Si los números tienen signos diferentes, el cociente será negativo. Por ejemplo, si dividimos -12 entre 4, el resultado es -3, ya que uno de los números es negativo.
Ley de exponentes
Un exponente se puede definir como el número que define la cantidad de veces que se tiene qué multiplicar un factor por sí mismo, el problema es cuando tenemos que elevar algo a la "cero" o manejar exponentes fraccionarios o incluso exponentes literales, las siguientes reglas serán de gran utilidad. (González Sánchez Salvador, Matemáticas 1, Morelia, Michoacán. UMICH)
Otro ejemplo:
Paso 1. Cambiar la expresión en radicales a exponentes fraccionarios
Paso 2. Con base a las propiedades citadas anteriormente multiplicar los exponentes fraccionarios obtenidos en el paso anterior
Nota.- Siempre que sea posible se tiene que simplificar una fracción a su equivalente.
Paso 3. Expresar el resultado dejando la base de la expresión con el exponente que se obtuvo en el paso anterior. Así también observa que es posible expresar el resultado nuevamente en forma de raíz.
Operaciones algebraicas
Expresión Algebraica
Es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones como lo es la adición, sustracción, multiplicación y división.
Suma
La suma es una operación que consiste en reunir dos o más términos algebraicos en uno solo. La única característica que deben de cumplir los términos es que sean semejantes, esto quiere decir que tengan las mismas literales y el mismo radical.
En la resta algebraica, como en la resta aritmética, existen dos cantidades: un minuendo (cantidad a la que se resta, o se le quita) y un sustraendo (cantidad que se resta, o se quita). La regla fundamental en la resta de polinomios consiste en cambiar de signo a todos los términos del sustraendo: los positivos se hacen negativos, y los negativos, positivos.
Leyes que se aplican a la multiplicación:
(+)(+) = + (+)(-) = – (-)(+) = – (-)(-) = +
(monomio) * (monomio). Ambos factores son monomios. En este caso, basta con aplicar las leyes de las potencias ya mencionadas y obtener como resultado un monomio.
La multiplicación cuenta con dos monomios como factores, con variables de igual base en ambos, simplemente se multiplican los coeficientes, mientras que deberán sumarse los exponentes que puede verse en cada variable.
En la División, se presentan tres casos: división de monomio por monomio, división de polinomio por monomio y división de polinomio por polinomio.
Leyes que se aplican a la división:
(+)/(+) = + (+)/(-) = – (-)/(+) = – (-)/(-) = +
(monomio) ÷ (monomio). Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor. La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes.
Ejemplo 2: factorizar
4x2+12x+94, x, squared, plus, 12, x, plus, 9
La expresión cuadrática está otra vez en forma estándar. ¡Vamos a empezar la lista de control!
Pregunta 1: ¿hay un factor común? No. Los términos 4x24, x, squared, 12x12, x y 99 no comparten un factor común. Siguiente pregunta.
Pregunta 2: ¿hay una diferencia de cuadrados? No. Hay un término xx así que esto no puede ser una diferencia de cuadrados. Siguiente pregunta.
Pregunta 3: ¿hay un trinomio cuadrado perfecto? Sí. El primer término es un cuadrado perfecto pues 4x2=(2x)24, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, y el último término es un cuadrado perfecto pues 9=(3)29, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Además el término de en medio es dos veces el producto de los números que están elevados al cuadrado, pues 12x=2(2x)(3)12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Podemos usar el patrón de trinomio cuadrado perfecto para factorizar la cuadrática.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
En conclusión, 4x2+12x+9=(2x+3)24, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.
Repaso de métodos de factorización
Método
Ejemplo
¿Cuándo es aplicable?
Factorizar factores comunes
=6x2+3x=3x(2x+1)
Si cada término en el polinomio comparte un factor común.
El patrón suma-producto
=x2+7x+12=(x+3)(x+4)
Si el polinomio es de la forma x2+bx+cx, squared, plus, b, x, plus, c y hay factores de cc que suman bb.
Si el polinomio es de la forma ax2+bx+ca, x, squared, plus, b, x, plus, c y hay factores de aca, c que suman bb.
Trinomios cuadrados perfectos
=x2+10x+25=(x+5)2
Si el primero y último término son cuadrados perfectos y el término de en medio es dos veces el productos de sus raíces cuadradas.
Diferencia de cuadrados
=x2−9=(x−3)(x+3)
Si la expresión representa una diferencia de cuadrados.
Formula general
Existe una técnica llamada fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de segundo grado que funciona con cualquier ecuación. Puedes resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, reescribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto.
Si completas el cuadrado de una ecuación genérica ax2 + bx + c = 0 y luego resuelves x, encuentras que
esta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática. Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0.
Si tienes la ecuación
2x+3x2=1, el valor de los parámetros para esta ecuación es: a=3,b=2 y c=–1.Entonces, en la forma canónica queda: 3x2+2x−1=0, y aplicando la fórmula,
Segundo ejemplo, la ecuación x2+x+1=0. Para aplicar la fórmula general, identificamos primero el valor de los parámetros: a=1,b=1 y c=1. Aplicando la fórmula, x1,2=−b±√b2−4ac2a=−1±√12−4(1)(1)2(1)=−1±√1−42=−1±√−32
¿Qué pasa aquí? ¿cuál es el valor de √−3 ? ¿qué número real elevado al cuadrado te da –3?
¡No existe ninguno!.
Geométricamente, significa que la parábola no corta al eje x.
Lo que ocurre es que las soluciones no son números reales sino complejos, decimos entonces que esta ecuación NO tiene soluciones reales.
Una integral se puede asimilar a una suma de infinitos términos, todos ellos de tamaño infinitesimalmente pequeño. Por lo tanto tendrá aplicación en cualquier situación que debamos sumar fragmentos muy pequeños para hallar un todo. Por ejemplo, ya se ha dicho que las integrales se usan para hallar longitudes, áreas, volúmenes, masas, densidades. ¿Por qué se pueden usar para eso? Pues porque cada uno de esos cálculos puede pensarse como la suma de elementos de tamaño muy pequeño. Supongamos que queremos calcular un área. Podemos descomponerla en multitud de pequeños cuadraditos, de forma que el área total sería el número de cuadraditos multiplicado por el área de uno de ellos. Haciendo cuadraditos de medida cada vez más pequeña (y por tanto, aumentando su número) podríamos ajustarnos tanto como quisiéramos a cualquier tipo de contorno, de forma que los resultados obtenidos cada vez sean más exactos (es decir, más parecidos al área en cuestión). En el límite, cuando esos cuadraditos fu
El método de Fermat para calcular la pendiente fue desarrollado durante 1630 y, aunque no es riguroso, es tan exacto como el utilizado posteriormente por Newton y Leibniz, sin utilizar el concepto de límite. Con una misteriosa , Fermat desarrollo un método para hallar tangentes a curvas planas. El método de Fermat fue fuertemente criticado por sus contemporáneos. Ellos objetaban obre la misteriosa . Dividir por significaba que era diferente a cero, pero eliminarla significaba tratarla como si fuera igual a cero, lo cual era inamisible. Pero la misteriosa después se convirtió en la diferencial de x (dx) o en las cantidades infinitamente pequeñas de Leibniz. De ahí que en libros de historia de las matemáticas se afirma que: Aunque la lógica de la exposición de Fermat deja mucho que desear. Leibniz afirmo “ no se aproxima a cero. En vez de eso, el ultimo valor de no es cero sino una “cantidad infinitamente pequeña” una “diferencial” llamada ”, y de manera similar tiene un valor último inf
Método de discos Si una región del plano, se hace girar al rededor de un eje paralelo al eje , de tal forma que se genera un sólido de revolución cuyas secciones transversales perpendiculares al eje de rotación, son discos con centro en el eje de revolución. Entonces el volumen del sólido esta dado por donde es el radio del disco expresado en términos de la variable de integración. En otras palabras (palabras menos coloridas), el método del disco es el proceso de encontrar el volumen de un objeto dividiendo ese objeto en muchos cilindros / discos pequeños y luego sumando los volúmenes de estos pequeños discos. El radio del cilindro está dado por una función f (x) y la altura es el cambio en x . Si encontramos el límite del volumen cuando el cambio en x llega a cero y el número de discos se acerca al infinito, entonces tendremos el volumen real del objeto y no solo una estimación. Este volumen es la anti-derivada del cuadrado de la función f ( x ) del punto a al punto b, multiplica
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