Conocimientos previos

Hecho por: Esther Alvarez 

Lunes, 18 de Septiembre 2023

Ley de signos

La ley se basa en lo siguiente: si los signos son iguales el resultado debe ser positivo. En cambio si los signos son diferentes el resultado será negativo. En otras palabras podría decirse signos iguales se suman, signos diferentes se restan. Esto va relacionado en operaciones básicas con números enteros.

Por ejemplo, en la suma, si tenemos dos números con el mismo signo, como +3 y +5, al sumarlos obtendremos un resultado positivo: 3 + 5 = +8. En cambio, si los números tienen signos diferentes, como -4 y +7, al sumarlos obtendremos un resultado negativo: -4 + 7 = +3.

En la resta también aplicamos la ley de los signos. Si restamos dos números con el mismo signo, como -9 y -2, obtendremos un resultado positivo: -9 – (-2) = -9 + 2 = -7. Pero si los números tienen signos diferentes, como -5 y +3, el resultado será negativo: -5 – (+3) = -5 – 3 = -8.

En la multiplicación, si multiplicamos dos números con el mismo signo, como -6 y -4, el resultado será positivo: -6 * (-4) = +24. Pero si los signos son diferentes, como -8 y +2, el resultado será negativo: -8 * (+2) = -16.

En la división, si los números tienen el mismo signo (ya sea ambos positivos o ambos negativos), el cociente será positivo. Por ejemplo, si dividimos 12 entre 4, el resultado es 3, ya que ambos números son positivos. Si los números tienen signos diferentes, el cociente será negativo. Por ejemplo, si dividimos -12 entre 4, el resultado es -3, ya que uno de los números es negativo.

Ley de exponentes

Un exponente se puede definir como el número que define la cantidad de veces que se tiene qué multiplicar un factor por sí mismo, el problema es cuando tenemos que elevar algo a la "cero" o manejar exponentes fraccionarios o incluso exponentes literales, las siguientes reglas serán de gran utilidad. (González Sánchez Salvador, Matemáticas 1, Morelia, Michoacán. UMICH)

Otro ejemplo:

Paso 1. Cambiar la expresión en radicales a exponentes fraccionarios

 

 

Paso 2. Con base a las propiedades citadas anteriormente multiplicar los exponentes fraccionarios obtenidos en el paso anterior

 

 

Nota.- Siempre que sea posible se tiene que simplificar una fracción a su equivalente.

 

 

Paso 3. Expresar el resultado dejando la base de la expresión con el exponente que se obtuvo en el paso anterior. Así también observa que es posible expresar el resultado nuevamente en forma de raíz.

 

 

Operaciones algebraicas

Expresión Algebraica

Es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones como lo es la adición, sustracción, multiplicación y división.

Suma

La suma es una operación que consiste en reunir dos o más términos algebraicos en uno solo. La única característica que deben de cumplir los términos es que sean semejantes, esto quiere decir que tengan las mismas literales y el mismo radical.

En la resta algebraica, como en la resta aritmética, existen dos cantidades: un minuendo (cantidad a la que se resta, o se le quita) y un sustraendo (cantidad que se resta, o se quita). La regla fundamental en la resta de polinomios consiste en cambiar de signo a todos los términos del sustraendo: los positivos se hacen negativos, y los negativos, positivos.  

Leyes que se aplican a la multiplicación:  

(+)(+) = +
(+)(-) = –
(-)(+) = –
(-)(-) = +

(monomio) * (monomio). Ambos factores son monomios. En este caso, basta con aplicar las leyes de las potencias ya mencionadas y obtener como resultado un monomio.

La multiplicación cuenta con dos monomios como factores, con variables de igual base en ambos, simplemente se multiplican los coeficientes, mientras que deberán sumarse los exponentes que puede verse en cada variable.

En la División, se presentan tres casos: división de monomio por monomio, división de polinomio por monomio y división de polinomio por polinomio. 

Leyes que se aplican a la división:  

(+)/(+) = +
(+)/(-) = –
(-)/(+) = –
(-)/(-) = +

(monomio) ÷ (monomio). Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor. La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes. 

(polinomio) ÷ (monomio). El dividendo es un polinomio, y el divisor, un monomio. Cada término del polinomio se divide entre el monomio; es decir, el proceso de división de monomio entre monomio se repite tantas veces como términos tenga el polinomio. Pol

Factorización

Ejemplo 2: factorizar 

$4{�}^2+12�+9$4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

La expresión cuadrática está otra vez en forma estándar. ¡Vamos a empezar la lista de control!

Pregunta 1: ¿hay un factor común?
No. Los términos $4{�}^2$4, x, squared, $12�$12, x y $9$9 no comparten un factor común. Siguiente pregunta.

Pregunta 2: ¿hay una diferencia de cuadrados?
No. Hay un término $�$x así que esto no puede ser una diferencia de cuadrados. Siguiente pregunta.

Pregunta 3: ¿hay un trinomio cuadrado perfecto?
Sí. El primer término es un cuadrado perfecto pues $4{�}^2=(2�{)}^2$4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, y el último término es un cuadrado perfecto pues $9=(3{)}^2$9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Además el término de en medio es dos veces el producto de los números que están elevados al cuadrado, pues $12�=2(2�)(3)$12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.

Podemos usar el patrón de trinomio cuadrado perfecto para factorizar la cuadrática.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{}4{�}^2+12�+9}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2�{)}^2+2(2�)(3)+(3{)}^2}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2�+3{)}^2}\end{array}$

En conclusión, $4{�}^2+12�+9=(2�+3{)}^2$4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Repaso de métodos de factorización

Método	Ejemplo	¿Cuándo es aplicable?
Factorizar factores comunes	$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{}6{�}^2+3�}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3�(2�+1)}\\ {\displaystyle }\end{array}$	Si cada término en el polinomio comparte un factor común.
El patrón suma-producto	$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{}{�}^2+7�+12}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(�+3)(�+4)}\end{array}$	Si el polinomio es de la forma ${�}^2+��+�$x, squared, plus, b, x, plus, c y hay factores de $�$c que suman $�$b.
El método de agrupación	$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{}2{�}^2+7�+3}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{�}^2+6�+1�+3}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2�(�+3)+1(�+3)}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(�+3)(2�+1)}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }\end{array}$	Si el polinomio es de la forma $�{�}^2+��+�$a, x, squared, plus, b, x, plus, c y hay factores de $��$a, c que suman $�$b.
Trinomios cuadrados perfectos	$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{}{�}^2+10�+25}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(�+5{)}^2}\end{array}$	Si el primero y último término son cuadrados perfectos y el término de en medio es dos veces el productos de sus raíces cuadradas.
Diferencia de cuadrados	$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{}{�}^2-9}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(�-3)(�+3)}\end{array}$	Si la expresión representa una diferencia de cuadrados.

Formula general

Existe una técnica llamada fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de segundo grado que funciona con cualquier ecuación. Puedes resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, reescribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. 

Si completas el cuadrado de una ecuación genérica ax2 + bx + c = 0 y luego resuelves x, encuentras que

esta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática. Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0. 

Si tienes la ecuación 

$2$$x$$+$$3$$x^{}$${}^{}$$=$$1$$2$$�$$+$$3$${�}^{}$$2^{}$$=$$1$, el valor de los parámetros para esta ecuación es: $a$$=$$3$$,$$b$$=$$2$$�$$=$$3$$,$$�$$=$$2$ y $c$$=$$–$$1.$$�$$=$$–$$1.$Entonces, en la forma canónica queda: $3$$x^{}$${}^{}$$+$$2$$x$$-$$1$$=$$0$$3$${�}^{}$$2^{}$$+$$2$$�$$-$$1$$=$$0$, y aplicando la fórmula,

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\left(3\right)(-1)}}{2\left(3\right)}=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{6}=\frac{-2\pm 4}{6}$$

Por lo que las soluciones de la ecuación son: 

$$x_1=-1x_2=\frac{1}{3}$$

Segundo ejemplo, la ecuación $x^2+x+1=0$. Para aplicar la fórmula general, identificamos primero el valor de los parámetros: $a=1,b=1$ y $c=1.$ Aplicando la fórmula, $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$$

¿Qué pasa aquí? ¿cuál es el valor de $\sqrt{-3}$ ? ¿qué número real elevado al cuadrado te da $–3$?

¡No existe ninguno!.

Geométricamente, significa que la parábola no corta al eje $x.$

Lo que ocurre es que las soluciones no son números reales sino complejos, decimos entonces que esta ecuación NO tiene soluciones reales.

Referencias

https://salazarvirtual.sistemaeducativosalazar.mx/assets/biblioteca/73fd904000f1282fe75fc866fcb5c6f9-U.3%20T.7%20-%20Algebra%20basica%20ley%20de%20signos.pdf 

https://situam.org.mx/educa/en-que-consiste-la-ley-de-los-signos.html#:~:text=Esta%20ley%20establece%20que%20si,3%20%2B%205%20%3D%20%2B8.

https://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa3/n6/m3.html#:~:text=La%20ley%20de%20los%20exponentes,tienen%20exponentes%20negativos%20o%20fraccionarios.

https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-4-operaciones-algebraicas-basicas-suma-resta-multiplicacion-y-division/

https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratics-multiplying-factoring/x2f8bb11595b61c86:factor-quadratics-strategy/a/factoring-quadratics-in-any-form

https://www.geogebra.org/m/GYXrzYEF

http://uapas2.bunam.unam.mx/matematicas/la_formula_general/#:~:text=La%20f%C3%B3rmula%20general%20para%20resolver%20ecuaciones%20cuadr%C3%A1ticas&text=Resolverla%20significa%20encontrar%20todos%20aquellos,o%20ceros%20de%20la%20ecuaci%C3%B3n.