Continuidad de una función

Funcion continua

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que una función es continua en un punto si se cumplen las siguientes tres condiciones:

Que el punto  tenga imagen

Es decir, debemos verificar que la función esté definida en el punto . En otras palabras, que pertenezca al dominio de f(x).

Que exista el límite de la función en el punto

Si has estudiado límites, sabrás que el límite en el punto existe si tiene límites por la derecha y por la izquierda y estos valores son iguales.

Para algunas familias de funciones es posible conocer su continuidad basándose en los siguientes criterios generales: 

• Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales. 
• Las funciones racionales obtenidas como cociente de dos polinomios son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellos en los que se anula el denominador. 
• Las funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio de definición. 
• Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todo el conjunto de los números reales.

Propiedades de las funciones continuas 

Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que: 

• La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo. 
• El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo. 
• El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula. 
• Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

Una reseña sobre las funciones mayor explicada:

• Funciones polinómicas

  $$f\left(x\right)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+$$$$+...+a_{1}x+a_0$$

  Son continuas en todos los reales.

  • Funciones racionales

    $$f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$$

    Son continuas en todos los reales excepto en los que anulan al denominador. 

  • Funciones exponenciales

    $$f\left(x\right)=a^x$$

    Como regla general, son continuas en todos los reales. Cuando la base es no positiva, $a\le 0$, puede haber complicaciones. 

  • Funciones logarítmicas

    $$f\left(x\right)=\log \left(x\right)$$

    Son continuas en todos los reales positivos.

  • Funciones irracionales

    $$f\left(x\right)=\sqrt[n]{nx}$$

    Si $n$ es par, son continuas en todos los reales. Si $n$ es impar, en los reales positivos.

  • Funciones trigonométricas

    El seno y el coseno son continuas en todos los reales. La tangente no es continua en $\pi /2+n\pi$ para todo entero $n$.

Referencias

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/continuidad-de-una-funcion.html

https://www.hiru.eus/es/matematicas/continuidad-de-funciones

https://www.matesfacil.com/resueltos-continuidad.htm