Reglas de derivación trigonométricas

Reglas de derivación trigonométricas

Un aspecto importante en el estudio de la derivada  de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.

Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma función.

En esencia, la derivada del seno es igual al coseno, y la del coseno coincide con el seno cambiado de signo (todo ello multiplicado, claro está, por la derivada de la función que figura como argumento de la razón trigonométrica).

Las restantes funciones trigonométricas se determinan aplicando las reglas de la derivación de un cociente de funciones (para la tangente, la cotangente, etcétera) y la regla de la cadena (para las funciones circulares inversas).

La derivada de una constante

Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. 

f(x) = 7
f '(x) = 0

La derivada de una potencia entera positiva

Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:

f(x)= x5
f '(x)= 5x4
 

Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresiones.

La derivada de una constante por una función.

Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:

f(x)= 3x5 
f '(x)= 3(5x4) = 15x4 

La derivada de una suma

Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:

 

f(x)= 2x3 + x 
f '(x)= 6x2 + 1

 La derivada de un producto

Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".


f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5) 
f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)

La derivada de un cociente 

 
 f 
 
 
f 'g - fg'
[
]' 
 = 
 
 g 
 
 
g2

Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.

 
 
4x + 1
f(x)
 = 
 
 
10x2 - 5
 
 
 
 
 
4(10x2 - 5) - 20x(4x + 1)
f '(x)
 = 
 
 
(10x2 - 5)2

 Las derivadas de las funciones trigonométricas

f(x) = sen(x)
 
f(x+h) - f(x)
 
sen(h + x) - sen(x)
 
 = 
 
h
 
h
 
 
 
 
 
 
 
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
 
 
 = 
 
 
 
h
 
 cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
f '(x) =
Lim[
] = cos(x)
htiende a0
h

 


A continación las reglas para derivar de forma breve.

Un ejemplo de Regla de la cadena

Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)4, a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.

f(x) = (3x + 5)2 = 9x2 + 30 x + 25
f '(x) = 18x + 30 = 6(3x + 5)
 
f(x) = (3x + 5)3 = 27x3 + 135x2 + 225x + 125
f '(x) = 81 x2 + 270x + 225 = 9(3x + 5)2
 
f(x) = (3x + 5)4 = 81x4 + 540x3 + 1350x2 + 1500x + 625
f '(x) = 324x3 + 1620x2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3
 
f(x) = (3x + 5)5
 = 243x5 + 2025x4  + 6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125
f '(x) = 1215x4 + 8100x3 + 20250x2 + 22500x + 9375
 = 15 (3x + 5)4

Después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.

Referencias:

https://www.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/DERIVADA/der_reg.html

chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://julioprofe.net/material-de-apoyo/calculo/Reglas-para-Derivar-%28con-expresiones-trigonometricas%29.pdf

https://derivadas01.blogspot.com/2018/05/derivadas-en-funciones-trigonometricas.html

https://unmundodematemticas.wordpress.com/2015/03/06/reglas-de-derivadas-trigonometricas/

https://youtu.be/cP1Ss34Mkz8 

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

La antiderivada y la integral indefinidas

Imagen
Una integral se puede asimilar a una suma de infinitos términos, todos ellos de tamaño infinitesimalmente pequeño.  Por lo tanto tendrá aplicación en cualquier situación que debamos sumar fragmentos muy pequeños para hallar un todo. Por ejemplo, ya se ha dicho que las integrales se usan para hallar longitudes, áreas, volúmenes, masas, densidades. ¿Por qué se pueden usar para eso? Pues porque cada uno de esos cálculos puede pensarse como la suma de elementos de tamaño muy pequeño. Supongamos que queremos calcular un área. Podemos descomponerla en multitud de pequeños cuadraditos, de forma que el área total sería el número de cuadraditos multiplicado por el área de uno de ellos. Haciendo cuadraditos de medida cada vez más pequeña (y por tanto, aumentando su número) podríamos ajustarnos tanto como quisiéramos a cualquier tipo de contorno, de forma que los resultados obtenidos cada vez sean más exactos (es decir, más parecidos al área en cuestión). En el límite, cuando esos cuadraditos fu
Leer más

Definición de la derivada

Imagen
El método de Fermat para calcular la pendiente fue desarrollado durante 1630 y, aunque no es riguroso, es tan exacto como el utilizado posteriormente por Newton y Leibniz, sin utilizar el concepto de límite. Con una misteriosa , Fermat desarrollo un método para hallar tangentes a curvas planas. El método de Fermat fue fuertemente criticado por sus contemporáneos. Ellos objetaban obre la misteriosa . Dividir por significaba que era diferente a cero, pero eliminarla significaba tratarla como si fuera igual a cero, lo cual era inamisible. Pero la misteriosa después se convirtió en la diferencial de x (dx) o en las cantidades infinitamente pequeñas de Leibniz. De ahí que en libros de historia de las matemáticas se afirma que: Aunque la lógica de la exposición de Fermat deja mucho que desear. Leibniz afirmo “ no se aproxima a cero. En vez de eso, el ultimo valor de no es cero sino una “cantidad infinitamente pequeña” una “diferencial” llamada ”, y de manera similar tiene un valor último inf
Leer más

Método de discos y arandelas

Imagen
Método de discos Si una región del plano, se hace girar al rededor de un eje paralelo al eje , de tal forma que se genera un sólido de revolución cuyas secciones transversales perpendiculares al eje de rotación, son discos con centro en el eje de revolución. Entonces el volumen del sólido esta dado por donde es el radio del disco expresado en términos de la variable de integración. En otras palabras (palabras menos coloridas), el método del disco es el proceso de encontrar el volumen de un objeto dividiendo ese objeto en muchos cilindros / discos pequeños y luego sumando los volúmenes de estos pequeños discos.  El radio del cilindro está dado por una función f (x) y la altura es el cambio en x . Si encontramos el límite del volumen cuando el cambio en x llega a cero y el número de discos se acerca al infinito, entonces tendremos el volumen real del objeto y no solo una estimación. Este volumen es la anti-derivada del cuadrado de la función f ( x ) del punto a al punto b, multiplica
Leer más