Reglas de derivación trigonométricas
Reglas de derivación trigonométricas
Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.
Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma función.
En esencia, la derivada del seno es igual al coseno, y la del coseno coincide con el seno cambiado de signo (todo ello multiplicado, claro está, por la derivada de la función que figura como argumento de la razón trigonométrica).
Las restantes funciones trigonométricas se determinan aplicando las reglas de la derivación de un cociente de funciones (para la tangente, la cotangente, etcétera) y la regla de la cadena (para las funciones circulares inversas).
La derivada de una constante
Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero.
La derivada de una potencia entera positiva
Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:
Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresiones.
La derivada de una constante por una función.
Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:
f(x)= 3x5 f '(x)= 3(5x4) = 15x4 |
La derivada de una suma
f(x)= 2x3 + x f '(x)= 6x2 + 1 |
La derivada de un producto
f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5) f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5) |
La derivada de un cociente
Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.
Las derivadas de las funciones trigonométricas
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x) | |||
f '(x) = | Lim[ | ] = cos(x) | |
h0 |
Un ejemplo de Regla de la cadena
f(x) | = | (3x + 5)2 | = | 9x2 + 30 x + 25 |
f '(x) | = | 18x + 30 | = | 6(3x + 5) |
f(x) | = | (3x + 5)3 | = | 27x3 + 135x2 + 225x + 125 |
f '(x) | = | 81 x2 + 270x + 225 | = | 9(3x + 5)2 |
f(x) | = | (3x + 5)4 = | 81x4 + 540x3 + 1350x2 + 1500x + 625 | |
f '(x) | = | 324x3 + 1620x2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3 | ||
f(x) | = | (3x + 5)5 | ||
= | 243x5 + 2025x4 + 6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125 | |||
f '(x) | = | 1215x4 + 8100x3 + 20250x2 + 22500x + 9375 | ||
= | 15 (3x + 5)4 |
Referencias:
https://www.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/DERIVADA/der_reg.html
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://julioprofe.net/material-de-apoyo/calculo/Reglas-para-Derivar-%28con-expresiones-trigonometricas%29.pdf
https://derivadas01.blogspot.com/2018/05/derivadas-en-funciones-trigonometricas.html
https://unmundodematemticas.wordpress.com/2015/03/06/reglas-de-derivadas-trigonometricas/
https://youtu.be/cP1Ss34Mkz8
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