Reglas de derivación

 Maria Esther Alvarez Rico                                                                                                           Oct 18th, 23

Reglas de derivación

El cálculo de la derivada de una función puede realizarse a partir de un conjunto de reglas fijas de aplicación sistemática. A la hora de derivar una función, se utilizan primero las propiedades generales de la derivación, para reducirla a una serie de funciones simples conocidas, cuyas derivadas se obtienen directamente a partir de una tabla.

Es un proceso que usa diferentes métodos para llegar a la derivada de una función; varios de ellos son los que corresponden a reglas para: funciones que se dividen entre ellas, funciones que se multiplican entre ellas o funciones compuestas.

Regla de los cuatro pasos

El proceso más general utilizado para la obtención de derivadas de funciones se denomina regla de los cuatro pasos. Dada una función f (x) continua y derivable, esta regla aplica las siguientes etapas:
Se determina: f (x + h).
Se calcula: f (x + h) - f (x).
Se obtiene el cociente incremental entre ambos términos:
Se calcula el límite de este cociente incremental cuando h tiende a cero:


Suma y diferencia de funciones

Dadas dos funciones u (x) y v (x) continuas y derivables, la derivada de la función suma (o diferencia) de las dos es igual a la suma (o diferencia) de sus derivadas.

Producto de una función por una constante

Dada una función f (x) continua y derivable y un número real l, la derivada del producto de ambos es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Dada una función:

Entonces la derivada será:

Producto de funciones

Dadas dos funciones continuas y derivables, la derivada del producto de las dos es igual a la derivada de la primera por la segunda, sin derivar, más la primera por la derivada de la segunda. Dada una función:

Entonces su derivada se calcula como:

Cociente de funciones

Dadas dos funciones continuas y derivables u (x) y v (x), donde la segunda es distinta de cero, la derivada del cociente de la primera por la segunda se determina con arreglo a la expresión dada a continuación.

Dada una función:


Se cumple que su derivada primera es:

Composición de funciones

Dada una función f (u) derivable con respecto a u, siendo u derivable con respecto a x, la derivada de la composición de funciones f [u(x)] con respecto a x es igual al producto de la derivada de f con respecto a u por la derivada de u con respecto a x.

Es decir, si


entonces se cumple que:

Ejemplo 1

Sea la función

Enunciamos las reglas de derivación y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicación. Derivadas. Cálculo diferencial. Matemáticas.

Es composición de las siguientes funciones:

Enunciamos las reglas de derivación y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicación. Derivadas. Cálculo diferencial. Matemáticas.

ya que

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O, equivalentemente, 

�=�(�).

Las derivadas son

Enunciamos las reglas de derivación y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicación. Derivadas. Cálculo diferencial. Matemáticas.

Por tanto, por la regla de la cadena,

                                         Enunciamos las reglas de derivación y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicación. Derivadas. Cálculo diferencial. Matemáticas.

Enunciamos las reglas de derivación y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicación. Derivadas. Cálculo diferencial. Matemáticas.

Tenemos que aplicar la regla del cociente y de la cadena (para el cuadrado):

Enunciamos las reglas de derivación y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicación. Derivadas. Cálculo diferencial. Matemáticas.

Simplificamos:

Enunciamos las reglas de derivación y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicación. Derivadas. Cálculo diferencial. Matemáticas.

Enunciamos las reglas de derivación y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicación. Derivadas. Cálculo diferencial. Matemáticas.

Si es necesario, se puede escribir la raíz como una potencia con exponente 

Aplicando la regla de la cadena,

Enunciamos las reglas de derivación y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicación. Derivadas. Cálculo diferencial. Matemáticas.

Criterio de extremos:

Si \(f\) es derivable en un extremo (máximo o mínimo local), entonces la derivada es 0 en dicho punto.

Criterio de monotonía:

Si \(f\) es derivable en \(a\):

  • Si \(f'(a)>0\), entonces \(f\) es creciente en un entorno de \(a\).

  • Si \(f'(a)< 0\), \(f\) es decreciente en un entorno de \(a\).

  • Si \(f'(a)=0\), decimos que \(a\) es un punto crítico, esto significa que \(a\) es un posible extremo (local).

Criterio de extremo (segunda derivada): Si \(a\) es un punto con \(f'(a)=0\) (es decir, \(a\) es un punto crítico) y \(f\) admite segunda derivada en \(a\):

  • Si \(f''(a)>0\), el punto \(a\) es un mínimo local.

  • Si \(f''(a)< 0\), el punto \(a\) es un máximo local.

  • Si \(f''(a)=0\), el punto \(a\) es un punto de inflexión (punto donde cambia la monotonía).


Referencias

https://www.hiru.eus/es/matematicas/reglas-de-derivacion-i
https://www.matesfacil.com/derivadas.htm
https://www.ugr.es/~rpaya/documentos/CalculoII/2012-13/Reglas.pdf
https://estudiarfisica.com/2015/07/22/demostracion-de-las-reglas-elementales-de-derivacion/
https://www.ugr.es/~rpaya/documentos/CalculoII/2013-14/Reglas.pdf
https://www.problemasyecuaciones.com/funciones/derivadas/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html
https://www.fisicalab.com/apartado/reglas-derivacion
https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/2BachCT/Calculo%20de%20derivadas.pdf

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