Derivada de orden superior

Esther Alvarez                                                                             Sat Nov 11th, 23

Definición

Calcular la derivada de una función f, produce otra función que corresponde a la derivada de f y se representa como Dx f(x) o f’. A este procedimiento se le llama derivación y la nueva función es la primera derivada de f.

Las derivadas de orden superior son usadas para el cálculo de máximos o mínimos en problemas de aplicación u optimización. Otro de los usos de las derivadas de orden superior es en la búsqueda de la concavidad y el cálculo de los puntos de inflexión para lo cual se requiere de la segunda derivada.


Y así podemos ir derivando, hasta notar que nuestra función derivada cada vez se hace cero. Pero en este artículo solo nos interesa entender que una función puede derivarse más de una vez, y que simbólicamente una segunda derivada, la podemos encontrar de esta forma.

De igual forma definimos la tercera derivada de f(x) o derivada de tercer orden de f(x) como la derivada de f''(x) y la denotamos con f'''(x), formalmente:

f'''(x) = ( f''(x))'


Ejemplo de su incremento en derivadas:
  • La derivada de una función se llama primera derivada y se denota con
  • La derivada de la derivada se llama segunda derivada y se denota con
  • El proceso de hallar derivadas, una tras otra, se llama derivadas sucesivas.
  • La enésima derivada de una función se denota con







Las derivadas sucesivas son interesantes porque nos brindan información de algún problema en particular con aplicación en la física, mecánica, economía, medicina, análisis de circuitos, etc. 

La segunda derivada de una función es utilizada en el Cálculo Diferencial en las aplicaciones de la derivada para obtener concavidades en las funciones, puntos de inflexión, máximos y mínimos que aportan información importante que podremos observar en las gráficas de las funciones.

Con la segunda derivada también podremos evaluar si existen máximos y mínimos en problemas prácticos, y poder tomar decisiones en cuanto el criterio a utilizar.

Ejemplo de calcular la sétima derivada f(x) = 2 x^{6} - 7 \sqrt{x} + 5 . Es necesario calcular las primeras seis derivadas antes de calcular la séptima.

f ' (x) = 12 x^{5} - \frac{7}{2 \sqrt{x}}

f '' (x) = 60 x^{4} + \frac{7}{4 x^{\frac{3}{2}}}

f ''' (x) = 240 x^{3} - \frac{21}{8 x^{\frac{5}{2}}}

f^{( 4 )}(x) = 720 x^{2} + \frac{105}{16 x^{\frac{7}{2}}}

f^{( 5 )}(x) = 1440 x - \frac{735}{32 x^{\frac{9}{2}}}

f^{( 6 )}(x) = 1440 + \frac{6615}{64 x^{\frac{11}{2}}}

Usos de las funciones de orden superior

  • Definición de patrones de programación.
    • Aplicación de una función a todos los elementos de una lista.
    • Filtrado de listas por propiedades.
    • Patrones de recursión sobre listas.
  • Diseño de lenguajes de dominio específico:
    • Lenguajes para procesamiento de mensajes.
    • Analizadores sintácticos.
    • Procedimientos de entrada/salida.
  • Uso de las propiedades algebraicas de las funciones de orden superior para razonar sobre programas.

Referencia:

https://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-15/temas/tema-7.html#:~:text=Una%20funci%C3%B3n%20es%20de%20orden,devuelve%20una%20funci%C3%B3n%20como%20resultado.
https://totumat.com/2020/03/17/derivadas-de-orden-superior/
https://drepasovirtual.blogspot.com/p/derivadas-de-orden-superior.html#:~:text=Las%20derivadas%20de%20orden%20superior,lo%20indique%20el%20orden%20requerido.&text=El%20proceso%20de%20hallar%20derivadas,otra%2C%20se%20llama%20derivadas%20sucesivas.
https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-12-derivadas-sucesivas/#:~:text=Vamos%20a%20estudiar%20que%20una,que%20se%20denota%20por%20f'.
https://jcastrom.jimdofree.com/matematica/c%C3%A1lculo-diferencial/derivadas-de-orden-superior/
https://www.fisimat.com.mx/derivadas-de-orden-superior/
https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-6-derivacion-implicita-y-derivadas-de-orden-superior/

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