Aplicaciones de derivada, Cálculo de maximo y minimo
Cálculo de máximo y mínimo
Frecuentemente nos encontramos con la necesidad de optimizar funciones para resolver problemas. Por ejemplo, para construir una granja rectangular utilizando el mínimo de cerca, necesitamos expresar el perímetro de la granja como una función y encontrar su mínimo.
O igual, puede ser que tengamos una cantidad de cerca y deseemos construir la granja que tenga a mayor superficie. En ambos casos necesitamos optimizar (minimizar o maximizar) una cantidad en función de otra.
La cuestión que nos ocupa ahora es calcular el máximo o el mínimo de una función. Nosotros sabemos que la derivada nos dice cómo se comporta localmente una función, es decir, su está creciendo o decreciendo. Cuando la derivada de la función en un punto es positiva, la función está creciendo en ese punto, y cuando la derivada es negativa, está decreciendo.
Un Máximo Local es un punto de la función donde ésta cambia de creciente a decreciente, es decir, aquellos puntos altos de la gráfica.
Un Mínimo Local es un punto de la función donde ésta cambia de decreciente a creciente, es decir, aquellos puntos bajos de la gráfica.
Para poder calcular el máximo y mínimo de una función tenemos que seguir los siguientes pasos.
Se deriva la función y = f(x) y esta se iguala a cero.Se buscan las raíces de la ecuación resultante , dichos valores se llaman valores críticos y son los que hacen que la tangente tenga pendiente cero (horizontal), pueda darnos un máximo o un mínimo.
Para saber si se trata de un máximo o mínimo, se toma un valor un poco menor al crítico y este se sustituye en la derivada, y se hace lo mismo para un valor mayor al crítico. Como resultado veremos lo siguiente; si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo, el valor crítico en análisis es de un máximo, si cambia de negativo a positivo, se trata de un mínimo, y si no cambia en ningún sentido, entonces se trata de un punto de inflexión.
Observa que a pesar de que la derivada de la función se hace cero en el origen, la función no tiene un máximo ni un mínimo. Esto es así porque la función es creciente en el intervalo (-\infty,0) y también es creciente en (0,\infty). En otras palabras, la derivada de la función no cambia de signo.
En el origen, la pendiente de la recta tangente es cero. Por eso, la recta tangente a la curva es horizontal. Pero las pendientes de las demás rectas tangentes siempre son positivas. La función crece antes del origen, deja de crecer en el origen y vuelve a crecer después de él.
Puntos críticos
Un punto crítico de la función y = f(x) es el punto c para el cual f'(c) = 0, o f'(c) no existe.
Por los ejemplos anteriores hemos observado que en un máximo y en un mínimo, la derivada de la función se hace cero. Entonces,
Teorema
Si la función y = f(x) tiene, bien un máximo, bien un mínimo, en x = c, entonces, f'(c) = 0. Es decir, x = c es un punto crítico de la función. Debes notar, que algunos puntos críticos de una función no son ni máximos ni mínimos de la misma.
Referencias:
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