Optimización con la aplicación de la derivada

 Es la consecución de los máximos y mínimos relativos de una función, sometida a ciertas restricciones. Para poder así calcular con mayor precisión cuál serán las medidas por ejemplo, radio y altura de un refrigerador y que contiene cierto volumen.

Pueden resolver diversos problemas que surgen en la fabricación, producción, pedidos, etc. esto para conseguir un incremento de unidades y conseguir el beneficio máximo. Una vez que consigue optimizar se puede tener los extremos relativos mediante una derivada de una función e igualándola a 0. Consecuente tiene una derivadas que de puede resolver, las soluciones son los candidatos para practicar. 

Por ejemplo, calcular las dimensiones del rectángulo de mayor are y de perímetro constante e igual a 48 m.

Nos pide un largo x y el ancho y

La función a optimizar es Área: X*Y

Se debe poner en una sola, se busca una relación entre ellas, el perímetro es de 48, es decir:

2X+2Y:48

Luego se reduce 

2Y:48-2X y:24 y X la igualan a 0

24-2X:0 es decir x:12m y:12m

Por lo tanto, será un cuadrado de 12m

Ejemplo 2. Optimización matemática

Nos dan una plancha rectangular de cartón, de dimensiones 80cm y 50cm, y nos dicen que recortemos las esquinas en forma de cuadrado de lado x. De esta manera formamos una caja sin tapadera.¿Cuál debe ser la medida de x para que la caja tenga el Volumen máximo?

Al realizar la caja nos queda un paralelismo de base 80 - 2x por 50 - 2x y con altura x La función a optimizar es el Volumen V = (80 - x)(50 - 2x)x Como sólo depende de una variable, procedemos a hallar su derivada e igualar a cero:

V´= -2(50 - 2x^2) + (50 - 4x)(80 . 2x) = 0

Y operando llegamos a:

3x^2 - 130x + 1000= 0

Que al resolver nos queda:

x= 33,3

Ésta no puede ser solución, pues no daría para la medida de 50cm. ¿Cuál es la solución? x = 10 cm es la solución. El volumen de la caja construída será V = 60.30.10 = 18000cm^3 = 18 litros.

Referencia 

https://www.tusclases.mx/blog/optimizacion-matematica-aplicacion-derivada-funcion

http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Optimizacion/FTOptimizacion.pdf

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