La antiderivada y la integral indefinidas

Una integral se puede asimilar a una suma de infinitos términos, todos ellos de tamaño infinitesimalmente pequeño. Por lo tanto tendrá aplicación en cualquier situación que debamos sumar fragmentos muy pequeños para hallar un todo. Por ejemplo, ya se ha dicho que las integrales se usan para hallar longitudes, áreas, volúmenes, masas, densidades. ¿Por qué se pueden usar para eso? Pues porque cada uno de esos cálculos puede pensarse como la suma de elementos de tamaño muy pequeño.

Supongamos que queremos calcular un área. Podemos descomponerla en multitud de pequeños cuadraditos, de forma que el área total sería el número de cuadraditos multiplicado por el área de uno de ellos. Haciendo cuadraditos de medida cada vez más pequeña (y por tanto, aumentando su número) podríamos ajustarnos tanto como quisiéramos a cualquier tipo de contorno, de forma que los resultados obtenidos cada vez sean más exactos (es decir, más parecidos al área en cuestión). En el límite, cuando esos cuadraditos fuesen de dimensiones prácticamente nulas, deberíamos usar casi infinitos para cubrir toda la figura. La suma de todos los cuadraditos sería, en ese caso, la integral.

Historia

Las integrales se definieron hacia el siglo XVI o XVII, aunque el concepto no quedó definitivamente asentado hasta Isaac Barrow, antecesor de Isaac Newton en la cátedra lucasiana de matemáticas. Barrow dio una célebre fórmula que relacionaba el cálculo de integrales con las derivadas, llamada regla de Barrow, que modernamente escribimos como:

∫𝑏𝑎𝑓′(𝑥) d𝑥=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

Esta regla fue generalizada luego al importantísimo teorema de Stokes para n-formas a principios del siglo XX (en el siglo XIX se dieron una serie de generalizaciones parciales debidas a Gauss y Stokes); ese teorema es una de las piezas fundamentales de la matemática del siglo XX [otra causalidad: la persona que actualmente ocupa la cátedra lucasiana que ocuparon Barrow y Newton, no es otra que Stephen Hawking].

Todo el asunto de si las integrales son exactas o aproximadas deriva de la primera formalización rigurosa que dio de ellas Riemann en el siglo XIX. Riemann era un joven ansioso que tuvo que retrasar la presentación de su tesis doctoral porque Gauss estuvo gravemente enfermo, de hecho poco tiempo después tras la presentación de la tesis de Riemann, Gauss falleció. El caso es que la carcterización de Riemann partía de la intuición de que:

lim𝑛→∞(∑𝑖=0𝑛𝑓(𝑥𝑖)Δ𝑥)=∫𝑏𝑎𝑓(𝑥) d𝑥

¿Por qué a la integral se interpreta como antiderivada, a la vez que se la usa para de sacar áreas debajo de curvas, o de hacer una suma de diferenciales (en física)? ¿Cómo se relacionan una con otra?

Si definimos la derivada de la forma habitual (variación, formalmente definido como el límite de la diferencia de la imagen sobre la diferencia de la variable libre) y definimos la integral de la forma habitual (área bajo la curva, formalmente definida como sumas de Riemann), podernos concluir lo que conocemos como teorema fundamental del cálculo: que ambos conceptos están relacionados.

Sea 𝑓 una función integrable de [𝑎,𝑏] a ℝ, podemos definir el área entre 𝑦=𝑓(𝑥), 𝑦=0, 𝑥=𝑎, y 𝑥=𝑏, como una suma de Riemann:

𝐴=∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥=lim||ℙ||→0∑𝑥𝑖∈ℙ𝑓(𝑥𝑖)(𝑥𝑖+1−𝑥𝑖)

Donde ℙ es una partición ordenada de [𝑎,𝑏] y ||ℙ|| es la menor de las diferencias 𝑥𝑖+1−𝑥𝑖.

Podemos definir la integral indefinida como una función: la función de acumulación, así:

𝐹(𝑥)=∫𝑥𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡, donde 𝑎≤𝑥0≤𝑏, y 𝑎≤𝑥≤𝑏

El teorema fundamental del cálculo nos dice que la acumulación es el inverso de la variación, o en otras palabras que la integral (indefinida) es la inversa de la derivada.