Cambio de variable

Las integrales por cambio de variable también conocidas como integrales por sustitución de variable se realizan introduciendo una nueva variable en la ecuación y utilizando esta elección de cambio para que la integral sea más fácil de resolver.

Siempre que hagamos una integral por cambio de variable, debemos cambiar, también, el diferencial en la integral; ya que ahora estaremos considerando el área con respecto a un cambio en una variable diferente. Esto lo hacemos diferenciando el cambio de variable y, luego, tratando el diferencial del cambio de variable (por ejemplo ) como una fracción, para reemplazar el diferencial original.

Si podemos integrar por sustitución, suele ser beneficioso hacerlo, en lugar de recurrir a otro método como la integración por partes. Esto se debe a que el cambio de variable suele ser un método más rápido y eficaz que la integración por partes. Sin embargo, la mayoría de las integrales no pueden resolverse usando los dos métodos, indistintamente, por lo que es esencial tener un buen conocimiento de ambos.


El método general para realizar la integración por cambio de variable es el siguiente:

1. Elegir un cambio de variable que permita cambiar todos los términos y facilitar al máximo la integral.
2. Diferenciar el cambio de variable, de forma que podamos cambiar el diferencial.
3. Realizar el cambio de variable.
4. Completar la integral.
5. Deshacer el cambio de variable.

Integración por sustitución

Al integrar una integral definida, asegúrate de utilizar también el cambio de variable para desplazar los límites. En una integral indefinida, asegúrate de deshacer el cambio de variable y de incluir, también, una constante de integración.


Punto clave: 
-A veces necesitamos multiplicar o dividir la integral completa por una constante, de tal manera que consigamos la forma apropiada para hacer un cambio de variable sin alterar el valor de la integral. 
-La integración por cambio de variable es la inversa de la regla de la cadena para las derivadas. Cuando la integral es de la forma , utiliza el cambio de variable.

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