Integral Indefinida
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
Propiedades de la integral definida
La integral definida cumple las siguientes propiedades: Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral). Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee: integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
El área y la integral definida
Cuando definimos la integral definida, eliminamos el requisito de que 𝑓(𝑥) sea no negativo. Pero ¿cómo interpretamos "el área bajo la curva" cuando 𝑓(𝑥) es negativo?
Área neta señalada
Volvamos a la suma de Riemann. Consideremos, por ejemplo, la función 𝑓(𝑥)=2−2𝑥2 en el intervalo [0,2]. Utilice 𝑛=8 y elegir {𝑥∗𝑖} como punto del extremo izquierdo de cada intervalo. Construya un rectángulo en cada subintervalo de altura 𝑓(𝑥∗𝑖) y de anchura Δx. Cuando 𝑓(𝑥∗𝑖) es positivo, el producto 𝑓(𝑥∗𝑖)Δ𝑥 representa el área del rectángulo, igual que antes. Cuando 𝑓(𝑥∗𝑖) es negativo, sin embargo, el producto 𝑓(𝑥∗𝑖)Δ𝑥 representa el negativo del área del rectángulo. La suma de Riemann se convierte entonces en
∑𝑖=18𝑓(𝑥∗𝑖)Δ𝑥=(Área de los rectángulos sobre el eje𝑥)−(Área de los rectángulos por debajo del eje𝑥)
Área total
Una aplicación de la integral definida es hallar el desplazamiento cuando se da una función de velocidad. Si los valores de 𝑣(𝑡) represente la velocidad de un objeto en función del tiempo, donde el área bajo la curva nos dice lo lejos que está el objeto de su posición original. Esta es una aplicación muy importante de la integral definida, y más adelante en el capítulo la examinamos con más detalle. Por ahora, solo vamos a ver algunos aspectos básicos para tener una idea de cómo funciona esto al estudiar las velocidades constantes.
Propiedades de la integral definida
Las propiedades de las integrales indefinidas se aplican también a las integrales definidas. Las integrales definidas también tienen propiedades relacionadas con los límites de integración. Estas propiedades, junto con las reglas de integración que examinaremos más adelante en este capítulo, nos ayudan a manipular expresiones para evaluar integrales definidas. Propiedades de comparación de las integrales
La comparación de las funciones por sus gráficos y sus expresiones algebraicas puede dar a menudo un nuevo enfoque del proceso de integración. Intuitivamente, podríamos decir que si una función 𝑓(𝑥) está por encima de otra función 𝑔(𝑥), entonces el área entre 𝑓(𝑥) y el eje x es mayor que el área entre 𝑔(𝑥) y el eje x. Esto es cierto según el intervalo en el que se hace la comparación. Las propiedades de las integrales definidas son válidas si 𝑎<𝑏,𝑎=𝑏, o 𝑎>𝑏. Las siguientes propiedades, sin embargo, solo se refieren al caso 𝑎≤𝑏, y se utilizan cuando queremos comparar los tamaños de las integrales.
Referencias
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