Método de discos y arandelas

Método de discos

Si una región del plano, se hace girar al rededor de un eje paralelo al eje , de tal forma que se genera un sólido de revolución cuyas secciones transversales perpendiculares al eje de rotación, son discos con centro en el eje de revolución. Entonces el volumen del sólido esta dado por

donde es el radio del disco expresado en términos de la variable de integración.

En otras palabras (palabras menos coloridas), el método del disco es el proceso de encontrar el volumen de un objeto dividiendo ese objeto en muchos cilindros / discos pequeños y luego sumando los volúmenes de estos pequeños discos. 

El radio del cilindro está dado por una función f (x) y la altura es el cambio en x . Si encontramos el límite del volumen cuando el cambio en x llega a cero y el número de discos se acerca al infinito, entonces tendremos el volumen real del objeto y no solo una estimación. Este volumen es la anti-derivada del cuadrado de la función f ( x ) del punto a al punto b, multiplicado por 3,14. Esta lección contendrá una explicación del proceso, un ejemplo del proceso y algunas modificaciones del concepto.

Si se toma una sección de una a b de la gráfica de una función f ( x ) y girarla alrededor de una línea, que va a crear un sólido tridimensional. El volumen de este sólido se puede encontrar utilizando el método de integración del disco. 

El método del disco se basa en la fórmula para el volumen de un cilindro: V = 3,14 h r ^ 2. Imagínese un cilindro que yace de lado. El eje x pasa por su centro, el eje y está contra la base izquierda, la base derecha está ubicada en x = by la parte superior del cilindro es y = 2.

Tenga en cuenta que el radio de este cilindro va desde el x eje x a la línea y = 2, una distancia de 2. La altura (a pesar de que se pone en su cara) es de una a b a lo largo del eje x. La altura se puede escribir como b – a o como el cambio de x . El volumen de este cilindro es 3,14 (2) ^ 2 (cambio de x ). Dado que este cilindro se creó girando y = 2 alrededor del eje x , podemos llamar a y = 2 como nuestra función, f ( x ). Entonces podemos decir que el volumen de este sólido es 3.14 veces f ( x ) ^ 2 veces el cambio en x.

Observe que con este sólido la función f ( x ) no proporciona un valor constante para el radio. Cualquier cilindro que pudiéramos imponer a este sólido sería solo una estimación del volumen del sólido. Si dividimos f ( x ) en secciones y encontramos el volumen de cada cilindro, obtendríamos una mejor estimación cuando todos esos discos se sumen. 

Cuantos más discos se midan, mejor será la estimación. Si pudiéramos medir un número infinito de discos, entonces tendríamos el volumen real del sólido. Este es el punto en el que entra en juego el cálculo. Encontrar el límite del volumen como la altura va a pequeña infinitamente es la primitiva de la plaza de la función f ( x ) a partir de un a b veces 3.14.

Método de anillos

Si una región del plano, se hace girar al rededor de un eje paralelo al eje , de tal forma que se genera un sólido de revolución cuyas secciones transversales, perpendiculares al eje de rotación, son anillos con centro en el eje de revolución. Entonces el volumen del sólido esta dado por

donde es el radio del disco exterior y es el radio del disco interior expresados en términos de la variable de integración.

Ejemplo 1.

Sean las funciones y=x2(cuadrada) y y=x, determinar el volumen de los sólidos de revolución que se forman al girar el área comprendida entre ambas funciones, alrededor del punto x=1. Primero graficaremos en el plano cartesiano las dos funciones, una vez hecho esto, giramos el área comprendida entre la parábola y la recta alrededor de la función dada (en este caso el punto x=1), procedemos a ver si lo haremos con rectángulos verticales u horizontales, de tal modo que podamos aplicar alguna de las fórmulas ya mencionadas anteriormente.

Sugerencias para calcular volúmenes por el método de discos o arandelas

1. Haga un dibujo de la región que se va a rotar al rededor de un eje.

2. Dibuje el eje de rotación. Si el eje de rotación es paralelo al eje “x”, la variable de integración es “x”. Si el eje de rotación es paralelo al eje “y”, la variable de integración es “y”.

3. Identifique si el sólido de revolución está formado por discos o por anillos y escriba la fórmula correspondiente.

4.Según sea el caso, escriba R y r, en términos de la variable de integración. para hacer esto hay que obtener la diferencia entre una función y la función del eje de rotación, o esta diferencia al revés, de tal forma que el radio sea positivo.

5.Calcule la integral utilizando los mismos límites de integración que se utilizarían para calcular el área de la región que se va a rotar.

Referencias

Volúmenes: discos o anillos – Recursos Matemática en Linea (matematicaenlinea.com)

Método de disco en cálculo: fórmula y ejemplos | Estudyando

Unidad I | Volúmenes de sólidos de revolución: discos, arandelas y capas (polilibrocalculo.com)