Capas cilindricas

Un sólido de revolución es una figura obtenida como consecuencia de hacer rotar una región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una superficie de revolución es la superficie exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra una porción de espacio dentro de la misma. Empleando el cálculo integral es posible calcular el volumen de superficies de este tipo. Dentro de esta sección veremos algunos métodos para el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.

Método de Discos.

Este método consiste en hacer rotar la gráfica de nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la suma de discos. Para obtener el volumen de un disco se multiplica el área del círculo por la altura de este:

En este caso tomaremos el eje x, como el eje de rotación, por lo que el radio del círculo está definido por la función en x y la altura será delta x:

Método de arandelas

Se utiliza este método cuando se trata de calcular el volumen de un sólido de revolución con un agujero. Este tipo de sólidos aparecen cuando la región plana que gira y el eje de revolución no están juntos. Si se gira esta región alrededor del eje x entonces el volumen del solido resultante es:

Ejemplo:

En capas cilíndricas:

Si una región del plano, se hace girar al rededor de un eje paralelo al eje y, de tal forma que se genera un sólido de revolución, que tiene como diferenciales de volumen capas cilíndricas con su eje en el eje de revolución.  Entonces el volumen del sólido esta dado por

Donde r es el radio de la capa cilíndrica en términos de la variable de integración y h es la altura de la capa cilíndrica expresada en términos de la variable de integración.

Sugerencias para calcular volúmenes por el método de capas cilíndricas

1. Haga un dibujo de la región que se va a rotar al rededor de un eje.
2. Dibuje el eje de rotación.  Si el eje de rotación es paralelo al eje “x”, la variable de integración es “y”.  Si el eje de rotación es paralelo al eje “y”, la variable de integración es “x”.
3. El radio de la capa cilíndrica se obtiene de la diferencia entre la variable independiente y el la constante del eje de rotación (la mayor menos la menor)
4. La altura de la capa cilíndrica se obtiene de la diferencia de dos funciones expresadas en términos de la variable de integración (la mayor menos la menor)
5. Calcule la integral utilizando los mismos límites de integración que se utilizarían para calcular el área de la región que se va a rotar.

Podemos usar una integral definida para encontrar el volumen de un sólido tridimensional de revolución que resulta de girar una región bidimensional alrededor de un eje particular tomando rebanadas perpendiculares al eje de revolución que luego serán discos circulares o arandelas.

Si giramos alrededor de una línea vertical y rebanamos perpendicular a esa línea, entonces nuestras rebanadas son horizontales y de grosor Δy.

Ejemplo:

Esto nos lleva a integrarnos con respecto a en y, contraposición a con respecto a x cuando cortamos un sólido verticalmente. Si giramos alrededor de una línea que no sea el eje x  - o y -eje, necesitamos tener en cuenta cuidadosamente el desplazamiento que se produce en el radio de un corte típico. Normalmente, este cambio implica tomar una suma o diferencia de la función junto con la constante conectada a la ecuación para la línea horizontal o vertical; un diagrama bien etiquetado suele ser la mejor manera de decidir la nueva expresión para el radio.

Referencias:

Unidad I | Volúmenes de sólidos de revolución: discos, arandelas y capas (polilibrocalculo.com)6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas - Cálculo volumen 1 | OpenStax

Volúmenes: Capas cilíndricas – Recursos Matemática en Linea (matematicaenlinea.com)