Longitud de arco de una curva

La longitud de arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Las primeras mediciones se hicieron posibles a través de aproximaciones trazando un polígono dentro de la curva y calculando la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Según el teorema de Pitágoras, la longitud del segmento de recta es

Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor. La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

Sea f(x) una función suave definida sobre [a, b]. Queremos calcular la longitud de la curva desde el punto (a, f (a)) hasta el punto (b, f (b)). Comenzamos usando segmentos de recta para aproximar la longitud de la curva. Para i = 0, 1, 2, …, n, sea P = {xi} una partición regular de [a, b].

Luego, para i = 1, 2, …, n, se construye un segmento de recta desde el punto (xi − 1, f(xi − 1)) hasta el punto (xi, f(xi)). Aunque parezca lógico usar segmentos de recta horizontales o verticales, queremos que nuestros segmentos de recta se aproximen a la curva lo más posible. La figura muestra esta construcción para n = 5. Podemos aproximar la longitud de una curva agregando segmentos de recta.

Para auxiliarnos en el cálculo de la longitud de cada segmento de recta, observamos el cambio en la distancia vertical, así como el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo. Como hemos usado una partición regular, el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo viene dado por Δx.

**Ejemplo:**
Cálculo de la longitud de arco de una función de x Sea f (x)=2x3/2. Calcula la longitud del arco de la gráfica de f (x) sobre el intervalo [0, 1]. Redondea la respuesta a tres decimales. Solución:

Tenemos f ′(x) = 3x1/2, entonces [f ′(x)]2 = 9x. Entonces, la longitud del arco es

Se sustituye u = 1 + 9x, entonces, du = 9dx. Cuando x = 0, entonces u = 1, y cuando x = 1, entonces u =10. Por lo tanto,

**Video:**

En esta parte del curso se consideran algunas aplicaciones de la integral definida. Para cada una es imperativo enfocar el estudio en el entendimiento del establecimiento del diferencial de la cualidad a cuantificar. Recuerde que la integral definida es el resultado de sumar una cantidad infinitamente grande de diferenciales.

El establecimiento de la integral definida consiste en dividir al todo apropiadamente esto es, de manera que para cada una de sus partes, se pueda calcular lo que se quiere calcular del todo, calcular la cualidad para una parte genérica (el diferencial de la cualidad) y sumar todas las partes. Dado que el todo se dividió en una cantidad infinitamente grande de partes, el concepto de integral definida emerge como la solución a este tipo de problemas.

En las primeras cinco aplicaciones consideradas en este libro se ejemplifica el uso del decálogo para el establecimiento de una integral definida. Este decálogo sirve como un esquema de solución para este tipo de problemas. Se espera que el lector siga aplicándolo en todos los ejemplos resueltos y en los ejercicios donde sea conveniente.

Longitud de arco

El problema de calcular la longitud de la curva se conocía en la antigüedad como la «rectificación de la curva». Este problema consiste en calcular la longitud de una parte de la gráfica de una función continua $y = f(x)$ . El siguiente procedimiento es aplicable si la función es continua y diferenciable en un intervalo dado. Primero se calcula un valor aproximado de la longitud y luego, la aproximación sugiere que para obtener el valor exacto, se debe evaluar una integral definida.

Cálculo aproximado de la longitud de arco

Considere la función continua y diferenciable $y = f(x)$ en el intervalo $x\in[a, b]$ . Para calcular un valor aproximado de su longitud en el intervalo mencionado, siga el procedimiento que se explica a continuación.

1. Sea «el todo» la parte de la gráfica de la función $y = f(x)$ que inicia en el punto $(a, f(a))$ y termina en el punto $(b,f(b))$ .

2. Sea $L$ el valor exacto de la longitud de esa parte de la gráfica.

3. Divida el intervalo $[a,b]$ en un número (natural) finito $n$ de subintervalos todos de igual longitud, $\Delta x$ , de manera que:
$\begin{equation*} \Delta x = \frac{b - a}{n} \end{equation*}$
Suponga que los extremos de cada subintervalo están en $x_{i}$ y $x_{i+1} = x_{i} + \Delta x$ , tal que:
$\begin{eqnarray*} x_{0} \!\!\!&=&\!\!\! a\\ x_{1} \!\!\!&=&\!\!\! x_{0} + \Delta x = a + \Delta x\\ x_{2} \!\!\!&=&\!\!\! x_{1} + \Delta x = a + 2\cdot\Delta x\\ &\cdots&\\ x_{n} \!\!\!&=&\!\!\! b = a + n\cdot \Delta x \end{eqnarray*}$

4. Observe que a cada subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ , le corresponde una parte de la gráfica de la función.

5. Sea $\Delta L_{i}$ el valor exacto de la longitud de la parte de la gráfica de la función correspondiente al $i-$ ésimo subintervalo.

6. La estrategia consiste en calcular un valor aproximado de la longitud $\Delta L_{i}$ de cada una de estas partes considerando que cada una es un segmento de recta y luego sumar todos estos valores para obtener una aproximación de la longitud de la gráfica de la función, con base en que:
$\begin{equation*} L = \sum\limits_{i = 0}^{n-1} \Delta L_{i} \end{equation*}$

7. Evalúe la función $y = f(x)$ en cada punto $x_i$ para $0 \leq i \leq n$ para obtener las coordenadas de los puntos $(x_{i}, f(x_{i}))$
sobre la gráfica de la función. Observe que éstas son las coordenadas de los puntos $P_{i}(x_i, f(x_i))$ de los extremos de cada elemento de longitud $\Delta L_i$ .
Para cada par de puntos $P_{i}$ y $P_{i+1}$ , calcule la longitud $\overline{P_{i}P_{i+1}}$ , aplicando el teorema de Pitágoras. Este es un valor aproximado de la longitud del elemento de longitud de arco $\Delta L_{i}$ de esa parte de la curva en el subintervalo correspondiente $[x_{i}, x_{i+1}]$ .
$\begin{equation*} \Delta L_{i} \approx \sqrt{(x_{i+1} - x_{i})^2 + (f(x_{i+1}) - f(x_{i}))^2} \end{equation*}$

8. Para simplificar esta expresión, observe que $x_{i+1} = x_{i} + \Delta x$ , implica que $x_{i+1} - x_{i} = \Delta x$ , y por el método de Euler, $f(x_{i+1}) = f(x_{i} + \Delta x) \approx f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x$ . Entonces,
$\begin{eqnarray*} \Delta L_{i} &\approx& \sqrt{(x_{i+1} - x_{i})^2 + (f(x_{i+1}) - f(x_{i}))^2} \\ &\approx& \sqrt{(\Delta x)^2 + (\cancel{f(x_i)} + f'(x_i)\cdot \Delta x - \cancel{f(x_{i}}))^2} \\ &=& \sqrt{(\Delta x)^2 + (f'(x_i)\cdot \Delta x)^2} \\ &=& \sqrt{(\Delta x)^2 + (f'(x_i))^2(\Delta x)^2} \\ &=& \sqrt{\left[1 + (f'(x_i))^2\right](\Delta x)^2} \\ \Delta L_{i} &\approx & \sqrt{1 + (f'(x_i))^2}\cdot \Delta x \end{eqnarray*}$

9. Sume el valor aproximado de la longitud $\Delta L_{i}$ de cada elemento correspondiente a todos los sub-intervalos.
$\begin{equation*} L = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta L_{i} \approx \sum\limits_{i=0}^{n-1} \sqrt{1 + (f'(x_i))^2}\cdot \Delta x \end{equation*}$

10. Evalúe la suma numéricamente.

Observe que a medida que se incrementa $n$ (el número de partes en las que se ha dividido el intervalo $[a, b]$ ) cada segmento de línea está más cerca de la parte correspondiente de la gráfica de la función por lo que la aproximación obtenida de $L$ se acerca a su valor exacto.

Luego, para calcular el valor exacto de la longitud del arco, en lugar de dividir el intervalo en un número finito de partes, es necesario dividirlo en una cantidad infinitamente grande de partes, de modo que cada subintervalo sea infinitamente pequeño.

Referencias:

Longitud de Arco de una Curva (unam.mx)

Longitud del arco de una curva y área de una superficie | Calculo21

6.1 Longitud de arco - Aprende Matemáticas (aprendematematicas.org.mx)

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