Integración por fracciones parciales

 Integración por fracciones parciales

La integración por fracciones parciales es un método que permite integrar funciones racionales a partir de transformar la función original en una suma de fracciones más sencillas, esto con el fin de poder integrar dichas fracciones con procedimientos o métodos mas simples o directos.

El método de fracciones parciales es usado para integrar funciones racionales de la siguiente forma:

∫�+2(�−1)(�−3)��∫                                                               ∫

∫(x−1)(x−3)
       ∫     x+2​

1. Descomponer a la función racional en sus fracciones parciales

2. Forma una integral con cada fracción parcial

La integral de la suma de fracciones es igual a la suma de las integrales de cada fracción.

3. Usamos la integral estándar 

∫1�=ln⁡(�)+�

∫
x
1​
 y la regla de la cadena.


Descomposición de fracciones propias en suma de fracciones simple

Para la descomposición de una fracción propia \frac{R(x)}{Q(x)} a una suma de fracciones simple, procedemos primero a factorizar al denominador como lo establece el teorema anterior.

Ejemplos:



Al factorizar Q(x), se obtendrán n sumando de la forma  (ax+b)^{n}, quedando;

\[\frac{A_{1}}{(ax+b)}+\frac{A_{2}}{(ax+b)^{2}}+\frac{A_{3}}{(ax+b)^{3}}...\frac{A_{n}}{(ax+b)^{n}}\]

En el caso que Q(x) sea de la forma (ax^{2}+bx+c)^{n} donde b^{2}-4ac< 0, la descomposición da lugar a;

\[\frac{C_{1}x+D_{1}}{ax^{2}+bx+c}+\frac{C_{2}x+D_{2}}{(ax^{2}+bx+c)^{2}}+\frac{C_{3}x+D_{3}}{(ax^{2}+bx+c)^{3}}...+\frac{C_{n}x+D_{n}}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}\]

para conseguir los valores de C_{1},D_{1}, C_{2}…C_{n} y D_{n}, se desarrolla la suma de las fracciones asociando las potencias iguales a X, igualando los coeficientes, presentándose un sistema de ecuaciones permitiendo conseguir cada valor.

Es de señalar que este procedimiento de conseguir dichos valores se le conoce como el Método de los coeficientes indeterminados. Seguidamente es necesario realizar una derivación del numerador el cual esta igualado a la suma de las fracciones que también se derivaran, de esta forma culminar el procedimiento.

Referencias

Integrales por fracciones parciales - Ejercicios resueltos - Neurochispas

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